Спектральный (фурье) анализ

В спектральном анализе исследуются периодические модели данных. Цель анализа — разложить комплексные временные последовательности с циклическими компонентами на пара главных синусоидальных функций с определенной длиной волн. Термин спектральный — необычная метафора для описания природы этого анализа.

Предположим, Вы изучаете луч белого солнечного света, что, на первый взгляд, думается хаотически составленным из света с разными длинами волн. Но, пропуская его через призму, Вы имеете возможность отделить волны различной длины либо периодов, каковые составляют белый свет. Практически, используя данный способ, Вы имеете возможность сейчас распознавать и различать различные источники света.

Так, распознавая значительные главные периодические компоненты, Вы определили что-то об интересующем Вас явлении.

В сущности, использование спектрального анализа к временным последовательностям подобно пропусканию света через призму. В следствии успешного анализа возможно найти всего пара повторяющихся циклов разной длины в интересующих Вас временных последовательностях, каковые, на первый взгляд, выглядят как случайный шум.

самый известный пример применения спектрального анализа — циклическая природа солнечных пятен (Шамвэй, 1988 — см. ниже). Выясняется, что активность солнечных пятен имеет 11-ти летний цикл. Другие примеры небесных явлений, трансформации погоды, колебания в товарных стоимостях, экономическая активность и т.д.

кроме этого довольно часто употребляются в литературе для демонстрации этого способа. В отличие от АРПСС либо способа экспоненциального сглаживания, цель спектрального анализа — выявить сезонные колебания разной длины, тогда как в предшествующих типах анализа, протяженность сезонных компонент в большинстве случаев известна (либо предполагается) заблаговременно и после этого включается в кое-какие теоретические модели скользящего среднего либо автокорреляции.

Ниже будут рассмотрены принципы и основные обозначения спектрального анализа и кросс-спектрального анализа.

период и Частота

Протяженность волны функций синуса либо косинуса, в большинстве случаев, выражается числом циклов (периодов) в единицу времени (Частота), довольно часто обозначается греческой буквой ню (; в некоторых книжках кроме этого применяют f). К примеру, временной последовательность, складывающийся из количества писем, обрабатываемых почтой, может иметь 12 циклов в году: первого числа каждого месяца отправляется много корреспонденции (большое количество квитанций приходит как раз первого числа каждого месяца); после этого, к середине месяца, количество корреспонденции значительно уменьшается; и после этого снова возрастает к концу месяца.

Исходя из этого ежемесячно колебания числом корреспонденции, обрабатываемой почтовым отделением, будут проходить полный цикл. Так, в случае если единица анализа — один год, тобудет равняется 12 (потому, что имеется 12 циклов в году). Само собой разумеется, смогут быть и другие циклы с разными частотами.

К примеру, годичные циклы (= 1) и, быть может, недельные циклы (= 52 семь дней в год).

Неспециализированная структура модели

Цель спектрального анализа — разложить последовательность на функции косинусов и синусов разных частот, для определения тех, появление которых особенно значительно и значимо. Один из вероятных способов сделать это — решить задачу линейной множественной регрессии, где зависимая переменная — замечаемый временной последовательность, а свободные переменные либо регрессоры: функции синусов всех вероятных (дискретных) частот. Такая модель линейной множественной регрессии возможно записана как

(для k = 1 до q)

Следующее неспециализированное понятие хорошего гармонического анализа в этом уравнении- (лямбда) — это круговая частота, выраженная в радианах в единицу времени, т.е.

где- константа pi = 3.1416 и.

Тут принципиально важно понять, что вычислительная задача косинусов функций и подгонки синусов различных длин к разрешённым может быть решена посредством множественной линейной регрессии. Увидим, что коэффициенты при косинусах и коэффициенты при синусах — это коэффициенты регрессии, показывающие степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными (увидим, что косинусы и сами синусы на разных частотах не коррелированы либо, вторым языком, ортогональны.

Так, мы имеем дело с частным случаем разложения по ортогональным полиномам). Всего существует q косинусов и различных синусов; интуитивно ясно, что число косинусов и функций синусов не может быть больше числа данных в ряде. Не вдаваясь в подробности, отметим, в случае если N — количество данных, то будет N/2+1 функций косинусов и N/2-1 функций синусов.

Иначе говоря разных синусоидальных волн будет столько же, сколько данных, и вы сможете всецело воспроизвести последовательность по главным функциям. (Увидим, в случае если количество данных в ряде нечетно, то последнее наблюдение в большинстве случаев опускается. Для определения синусоидальной функции необходимо иметь, по крайней мере, две точки: большого и низкого пика).

В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию косинусов и функций синусов разной частоты с замечаемыми данными. В случае если отысканная корреляция (коэффициент при определенном синусе либо косинусе) громадна, то возможно заключить, что существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных.

Шамвэй предлагает следующий несложный пример для объяснения спектрального анализа. Создадим последовательность из 16 наблюдений, взятых из уравнения, продемонстрированного ниже, а после этого посмотрим, как возможно извлечь из него данные. Сперва создадим переменную и определим ее как:

В совокупности STATISTICA вы имеете возможность создать эту переменную, введя формулу как долгую метку переменной. Переменная складывается из двух главных периодичностей: первая с частотой n=0.0625 (либо периодом 1/n=16; одно наблюдение образовывает 1/16-ю длины полного цикла, либо целый цикл содержит каждые 16 наблюдений) и вторая с частотой n=0.2 (либо периодом 5). Коэффициент при косинусе (1.0) больше чем коэффициент при синусе (0.75).

Итоговая таблица результатов спектрального анализа, вычисленная модулем Временные последовательности, продемонстрирована ниже.

	Спектральный анализ Число наблюд.: 16
t	Частота	Период	Косинус коэфф.	Синус коэфф.	периодограмма
	0.0000	16.00	0.000	0.000	0.000
	0.0625	8.00	1.006	0.028	8.095
	0.0125	5.33	0.033	0.079	0.059
	0.1875	4.00	0.374	0.559	3.617
	0.2500	3.20	-0.144	-0.144	0.333
	0.3125	2.67	-0.089	-0.060	0.092
	0.3750	2.29	-0.075	-0.031	0.053
	0.4375	2.00	-0.070	-0.014	0.040
	0.5000		-0.068	0.000	0.037

Сейчас разглядим столбцы таблицы результатов. Ясно, что громаднейший коэффициент при косинусах расположен наоборот частоты 0.0625. Громаднейший коэффициент при синусах соответствует частоте 0.1875.

Так, эти две частоты, каковые были внесены в эти, четко проявились.