В спектральном анализе исследуются периодические модели данных. Цель анализа — разложить комплексные временные последовательности с циклическими компонентами на пара главных синусоидальных функций с определенной длиной волн. Термин спектральный — необычная метафора для описания природы этого анализа.
Предположим, Вы изучаете луч белого солнечного света, что, на первый взгляд, думается хаотически составленным из света с разными длинами волн. Но, пропуская его через призму, Вы имеете возможность отделить волны различной длины либо периодов, каковые составляют белый свет. Практически, используя данный способ, Вы имеете возможность сейчас распознавать и различать различные источники света.
Так, распознавая значительные главные периодические компоненты, Вы определили что-то об интересующем Вас явлении.
В сущности, использование спектрального анализа к временным последовательностям подобно пропусканию света через призму. В следствии успешного анализа возможно найти всего пара повторяющихся циклов разной длины в интересующих Вас временных последовательностях, каковые, на первый взгляд, выглядят как случайный шум.
самый известный пример применения спектрального анализа — циклическая природа солнечных пятен (Шамвэй, 1988 — см. ниже). Выясняется, что активность солнечных пятен имеет 11-ти летний цикл. Другие примеры небесных явлений, трансформации погоды, колебания в товарных стоимостях, экономическая активность и т.д.
кроме этого довольно часто употребляются в литературе для демонстрации этого способа. В отличие от АРПСС либо способа экспоненциального сглаживания, цель спектрального анализа — выявить сезонные колебания разной длины, тогда как в предшествующих типах анализа, протяженность сезонных компонент в большинстве случаев известна (либо предполагается) заблаговременно и после этого включается в кое-какие теоретические модели скользящего среднего либо автокорреляции.
Ниже будут рассмотрены принципы и основные обозначения спектрального анализа и кросс-спектрального анализа.
период и Частота
Протяженность волны функций синуса либо косинуса, в большинстве случаев, выражается числом циклов (периодов) в единицу времени (Частота), довольно часто обозначается греческой буквой ню (; в некоторых книжках кроме этого применяют f). К примеру, временной последовательность, складывающийся из количества писем, обрабатываемых почтой, может иметь 12 циклов в году: первого числа каждого месяца отправляется много корреспонденции (большое количество квитанций приходит как раз первого числа каждого месяца); после этого, к середине месяца, количество корреспонденции значительно уменьшается; и после этого снова возрастает к концу месяца.
Исходя из этого ежемесячно колебания числом корреспонденции, обрабатываемой почтовым отделением, будут проходить полный цикл. Так, в случае если единица анализа — один год, тобудет равняется 12 (потому, что имеется 12 циклов в году). Само собой разумеется, смогут быть и другие циклы с разными частотами.
К примеру, годичные циклы (= 1) и, быть может, недельные циклы (= 52 семь дней в год).
Неспециализированная структура модели
Цель спектрального анализа — разложить последовательность на функции косинусов и синусов разных частот, для определения тех, появление которых особенно значительно и значимо. Один из вероятных способов сделать это — решить задачу линейной множественной регрессии, где зависимая переменная — замечаемый временной последовательность, а свободные переменные либо регрессоры: функции синусов всех вероятных (дискретных) частот. Такая модель линейной множественной регрессии возможно записана как
(для k = 1 до q)
Следующее неспециализированное понятие хорошего гармонического анализа в этом уравнении- (лямбда) — это круговая частота, выраженная в радианах в единицу времени, т.е.
где- константа pi = 3.1416 и.
Тут принципиально важно понять, что вычислительная задача косинусов функций и подгонки синусов различных длин к разрешённым может быть решена посредством множественной линейной регрессии. Увидим, что коэффициенты при косинусах и коэффициенты при синусах — это коэффициенты регрессии, показывающие степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными (увидим, что косинусы и сами синусы на разных частотах не коррелированы либо, вторым языком, ортогональны.
Так, мы имеем дело с частным случаем разложения по ортогональным полиномам). Всего существует q косинусов и различных синусов; интуитивно ясно, что число косинусов и функций синусов не может быть больше числа данных в ряде. Не вдаваясь в подробности, отметим, в случае если N — количество данных, то будет N/2+1 функций косинусов и N/2-1 функций синусов.
Иначе говоря разных синусоидальных волн будет столько же, сколько данных, и вы сможете всецело воспроизвести последовательность по главным функциям. (Увидим, в случае если количество данных в ряде нечетно, то последнее наблюдение в большинстве случаев опускается. Для определения синусоидальной функции необходимо иметь, по крайней мере, две точки: большого и низкого пика).
В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию косинусов и функций синусов разной частоты с замечаемыми данными. В случае если отысканная корреляция (коэффициент при определенном синусе либо косинусе) громадна, то возможно заключить, что существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных.
Шамвэй предлагает следующий несложный пример для объяснения спектрального анализа. Создадим последовательность из 16 наблюдений, взятых из уравнения, продемонстрированного ниже, а после этого посмотрим, как возможно извлечь из него данные. Сперва создадим переменную и определим ее как:
В совокупности STATISTICA вы имеете возможность создать эту переменную, введя формулу как долгую метку переменной. Переменная складывается из двух главных периодичностей: первая с частотой n=0.0625 (либо периодом 1/n=16; одно наблюдение образовывает 1/16-ю длины полного цикла, либо целый цикл содержит каждые 16 наблюдений) и вторая с частотой n=0.2 (либо периодом 5). Коэффициент при косинусе (1.0) больше чем коэффициент при синусе (0.75).
Итоговая таблица результатов спектрального анализа, вычисленная модулем Временные последовательности, продемонстрирована ниже.
Спектральный анализ Число наблюд.: 16 | |||||
t | Частота | Период | Косинус коэфф. | Синус коэфф. | периодограмма |
0.0000 | 16.00 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | |
0.0625 | 8.00 | 1.006 | 0.028 | 8.095 | |
0.0125 | 5.33 | 0.033 | 0.079 | 0.059 | |
0.1875 | 4.00 | 0.374 | 0.559 | 3.617 | |
0.2500 | 3.20 | -0.144 | -0.144 | 0.333 | |
0.3125 | 2.67 | -0.089 | -0.060 | 0.092 | |
0.3750 | 2.29 | -0.075 | -0.031 | 0.053 | |
0.4375 | 2.00 | -0.070 | -0.014 | 0.040 | |
0.5000 | -0.068 | 0.000 | 0.037 |
Сейчас разглядим столбцы таблицы результатов. Ясно, что громаднейший коэффициент при косинусах расположен наоборот частоты 0.0625. Громаднейший коэффициент при синусах соответствует частоте 0.1875.
Так, эти две частоты, каковые были внесены в эти, четко проявились.
1 число каждого месяца
Удивительные статьи:
- Платформа девять и три четверти
- Стадия 5: жизнь после смерти
- Глава 13. комиссия по учету магловских выродков 4 страница
Похожие статьи, которые вам понравятся:
-
Временной последовательность есть нестационарным, если он содержит такие систематические составляющие как цикличность и тренд. Нестационарные временные…
-
Анализ проводится в несколько этапов
Объективные и интуитивные совокупности в архитектуре. В ар-ре и град-ве нет законов и правил. Употребляются приемы опытного мастерства, они не…
-
Комплексный анализ сайтов на базе seobuilding.ru
Разбирать сайты приходится довольно часто. Обстоятельство несложна — на данный момент главным источником трафика для большинства сайтов являются…
-
Тема 1. ГЛАВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ Статистический показатель –это обобщающая черта какого-либо свойства совокупности, группы. Этим он отличается…